Знатные роды

1 См. его Grundgesetze der Arithmetik (Jena, 1893), В. I, § 17, S. 31.

Различие между утверждением фх и утверждением (х) . фх, я думаю, впервые подчеркнул Фреге1. Его довод в пользу явного введения этого различия совпадает с тем, что является причиной присутствия этого различия в практике математиков; а именно, что дедукция может быть действенной только в случае действительных, а не мнимых переменных. В случае доказательств Евклида это очевидно. Скажем, для рассуждения нам нужен некоторый один треугольник ABC, хотя и безразлично, какой именно. Треугольник ЛВС является действительной переменной; и хотя он представляет собой какой-то треугольник, он остается одним и тем же треугольником на протяжении всего доказательства. Но в общем изложении треугольник является мнимой переменной. Если мы переходим к мнимой переменной, мы не можем осуществить какой-либо вывод и поэтому во всех доказательствах должны использоваться действительные переменные. Предположим (возьмем простейший случай), нам известно, что «фх всегда истинно», т. е. «(х), фх», и мы знаем, что «фх всегда влечет фх», т. е. «(х). {фх влечет фх}». Каким образом мы выведем «i//x всегда истинно»? Мы знаем, что всегда истинно следующее: если фх — истинно и если фх влечет фх, то фх — истинно. Но у нас нет посылок в том смысле, что фх — истинно и фх влечет фх; у нас есть следующее: фх всегда истинно и фх всегда влечет фх. Для того чтобы осуществить наш вывод, мы должны перейти от «фх всегда истинно» к фх и от «фх всегда влечет фх» к «фх влечет фх», где этот х, оставаясь каким-то возможным аргументом, должен быть одинаковым в обоих случаях. Тогда из «фх» и «фх влечет фх» мы выводим «фх»; таким образом, фх является истинным для любого возможного аргумента и, следовательно, истинным всегда. Стало быть, для того чтобы вывести «(#). фх» из «(я). фх» и «(х) . {фх влечет фх}», мы должны перейти от мнимой к действительной переменной, а затем вновь вернуться к мнимой переменной. Эта процедура требуется во всех математических рассуждениях, в которых осуществляется переход от утверждения о всех значениях одной или более пропозициональных функций к утверждению о всех значениях некоторой другой пропозициональной функции, как, например, при переходе от «все равнобедренные треугольники имеют равные углы при основании» к «все треугольники, имеющие равные углы при основании, являются равнобедренными». В частности, этот процесс требуется при доказательстве Barbara и других модусов силлогизма.