Теория оптимального уровня продуктового разнообразия

Свойство называется «трансфинитно наследственным», если, когда оно принадлежит определенной выборке терминов из ряда, оно принадлежит их непосредственно последующему элементу, при условии, что они имеют таковой. Во вполне-упорядоченных рядах свойство трансфинитной наследственности, принадлежащее первому термину ряда, принадлежит всему ряду. Это позволяет доказать много предложений, касающихся вполне-упорядоченных рядов, все из которых истинны о всех рядах.

Легко построить индуктивные числа в ряд, который не является вполне-упорядоченным, и даже построить их в компактный ряд.

Например, мы можем принять следующий план: рассмотрим десятичные дроби от 0,1 (включительно) до 1 (не включая ее) в порядке величины. Они образуют компактный ряд; между любыми двумя может всегда находиться бесконечное число других. Теперь опустим запятую в начале каждой дроби, и мы будем иметь компактный ряд, состоящий из всех конечных целых чисел, за исключением таких, которые делятся на 10. Если мы пожелаем включить и эти последние, это сделать нетрудно; вместо того, чтобы начать с 0,1, включим все десятичные дроби, меньшие 1, но когда мы устраняем запятую, мы переносим вправо любой 0, который встречается в начале нашей дроби. После этого мы можем установить правило упорядочения наших целых чисел следующим образом: из двух целых чисел, которые не начинаются с одной и той же цифры, то, которое начинается с меньшей цифры, ставится первым. Из двух чисел, которые начинаются с одинаковых цифр, но различаются во второй цифре, число, которое имеет меньшую вторую цифру, ставится первым, но перед ним будет число вообще без второй цифры, и так далее. Вообще, если два целых числа совпадают в первых п цифрах, но не сходятся в (и + 1)-й, первым ставится то, которое не имеет (п + 1)-й цифры, или же она у него наименьшая по сравнению с остальными. Это правило упорядочения, как читатель может легко убедиться, приводит к компактному ряду, содержащему все целые числа, не делящиеся на 10, и, как мы видели, нетрудно включить и эти последние. Из этого примера следует, что возможно конструировать компактные ряды, имеющие Х0 терминов. На самом деле, мы уже видели, что имеется Х„ рациональных чисел, а рациональные числа в порядке величины образуют компактный ряд. Это, стало быть, другой пример.