Религия заратустры

Но без этой аксиомы мы остаемся перед возможностью, что оба числа п и п + 1 могут оказаться нуль-классом.

Давайте проиллюстрируем эту возможность на таком примере: предположим, что в мире есть только девять индивидов (я должен попросить читателя подождать объяснения, что имеется в виду под термином «индивид»). Тогда индуктивные кардинальные числа от О до 9 будут такими, как мы и ожидаем, но 10 (определенное как 9 + 1) будет нуль-классом. Нужно вспомнить, что п + 1 есть совокупность всех тех классов, которые имеют термин х такой, что когда х отнят, остается класс п терминов. Применяя это определение, мы видим, что в предполагаемом нами случае 9+1 есть класс, не состоящий из классов, то есть нуль-класс. То же самое будет истинным о 9 + 2 и вообще о 9 + п, если п не есть нуль. Таким образом, 10 и все последующие индуктивные числа будут тождественны, так как все они будут нуль-классом. В таком случае индуктивные кардинальные числа не образуют прогрессии, и не будет истинным утверждение о том, что два числа не могут иметь один и тот же последующий элемент, потому что 9 и 10 в качестве последующего элемента будут иметь нуль-класс. (При этом 10 является нуль-классом.) И вот для предотвращения таких арифметических катастроф и требуется аксиома бесконечности.

Существенно то, что пока мы имеем дело с арифметикой конечных целых чисел и не вводим бесконечных целых или бесконечных классов, или рядов конечных целых или дробей, все желаемые результаты можно получить без аксиомы бесконечности. То есть мы можем иметь дело со сложением, умножением, возведением в степень конечных целых чисел и дробей, но мы не можем иметь дело с бесконечными целыми числами или иррациональными числами. Таким образом, мы не имеем теории трансфинитных чисел и теории действительных чисел. Надо объяснить, почему это так.

Предполагая, что число индивидов в мире и, мы имеем число классов индивидов равным 2". Этот результат был изложен в главе VIII: число классов, содержащихся в классе, имеющем п членов, равно 2". И 2" всегда больше, чем п. Отсюда число классов в мире больше числа индивидов. Если мы предположим, что число индивидов равно 9, как мы только что сейчас сделали, число классов будет равно 29, то есть 512. Таким образом, если мы возьмем наши числа для счета классов, а не индивидов, наша арифметика будет нормальной до тех пор, пока мы не достигнем 512: первое число, которое окажется нулем, будет 513.