Видно, что это определение не требует того, что а и /5 не должны перекрываться; оно остается адекватным даже тогда, когда а и /3 тождественны. Например, пусть а будет класс, чьи члены Х\, х2, х$. Тогда класс, используемый для определения произведения, есть класс пар:
(х\, Хх), (xi, х2), {х\, #з); {х2, Х\), (х2, х2), {х2, х^); (х3, х^), (хз, х2), (х^, х3).
Это определение остается применимым, когда ц и v оба являются бесконечными, и оно может быть расширено, шаг за шагом, на три или четыре или любое конечное число сомножителей. В отношении этого определения не возникает никаких трудностей, за исключением того, что оно не может быть расширено на бесконечное число сомножителей.
Проблема умножения с бесконечным числом сомножителей заключается вот в чем: предположим, что мы имеем класс к, состоящий из классов; предположим, что задано число терминов в каждом из этих классов. Как мы будем определять произведение всех этих чисел? Если мы можем сделать наше определение общим, оно будет применено как к случаю с конечным к, так и к случаю с бесконечным к. Следует заметить, что проблема состоит в том, чтобы справиться со случаем, когда бесконечно к, а не его члены. Если к не является бесконечным, определенный выше метод приложим как к случаю с конечным числом членов, так и к случаю, когда оно бесконечно.
Следующий метод определения умножения в общем случае дан д-ром Уайтхедом. Он объяснен и расписан более тщательно в Principia Mathematica, vol. i, *80ff and vol. ii, *114.
Давайте предположим для начала, что к есть класс классов, ни один из которых не перекрывается с любым другим, — например, избирательные округа в стране, где нет всеобщей системы голосования и каждый избирательный округ рассматривается как класс избирателей. Давайте выберем один термин из каждого класса в качестве его представителя, как это делается при выборе членов парламента, предполагая, что по закону каждый избирательный округ должен выбрать человека, который имеет право голосовать от этого округа. Мы таким образом прибываем к классу представителей, которые и образуют парламент. Сколько есть способов скомпоновать парламент? Каждый избирательный округ имеет право выбрать любого из своих избирателей, и, следовательно, если имеется /л избирателей в округе, имеется (А. возможностей выбора. Выборы в различных округах независимы; таким образом, ясно, что когда общее число округов конечно, число возможных парламентариев получается перемножением числа избирателей во всех округах.
0 коммент.:
Отправить комментарий