Но что такое есть подобная истинностная функция, как не специальный ее вид бесконечного объема (или структуры), и даже более сложный, чем класс, снабженный к тому же гипотетическим значением, которое может понять только бесконечный ум? Все это есть только подтверждение взгляда, защищавшегося выше, о том, что логика и математика (как и физика) построены на аксиомах с реальным содержанием, от которого нельзя «отделаться».
Что можно получить на основании конструктивистского подхода, так это теорию порядков; только теперь (и это есть сильная сторона теории) включенные ограничения не кажутся ad hoc гипотезами во избежание парадоксов, а являются неизбежными следствиями тезиса о том, что классы, концепции и квантифицируемые предложения не существуют как реальные объекты. Это не выглядит так, как если бы вселенная была разделена на порядки, а потом было запрещено говорить о всех порядках; наоборот, возможно говорить о всех существующих вещах, только среди них нет классов и концепций, и если они введены какfacon deparler, то оказывается, что само это расширение символизма вызывает возможность введения их в более обширном виде, и так далее, неопределенно далеко. Для того чтобы осуществить эту схему, нужно, однако, предположить арифметику (или нечто эквивалентное), которая докажет, что даже эта ограниченная логика не может быть построена на ничем.
В первом издании Principia, где это был вопрос действительного построения логики и математики, конструктивистский подход был по большей части отброшен, так как аксиома сводимости для типов более высоких, чем первый, вместе с аксиомой бесконечности, делают совершенно необходимым, чтобы существовали примитивные предикаты произвольно высоких типов. От конструктивистского подхода остается только: (1) введение класса как удобной манеры речи; (2) определение ~, v и т. д. в применении к предложениям, содержащим кванторы, которое, кстати, показало свою плодотворность в доказательстве непротиворечивости арифметики; (3) пошаговое конструирование функций порядка более высокого, чем 1, которое, однако, становится излишним из-за аксиомы сводимости; (4) интерпретация определений как простых типографских сокращений, которые делают каждый символ по определению неполным символом (не именующий объект, описанный определением).
0 коммент.:
Отправить комментарий