Реакция и народничество

Например, «р и я» есть отрицание «не-р или не-q» и обратно; таким образом, любая из них может быть определена как отрицание другой. Нет в истинностных функциях никакого значения сверх и помимо того, как, при каких условиях они истинны или ложны.

Ясно, что указанные выше пять истинностных функций не являются независимыми. Мы можем определить некоторые из них в терминах других. Нет никаких трудностей в сведении к двум из них; в Principia Mathematica выбраны отрицание и дизъюнкция. Импликация тогда определяется как «не-р или я»; несовместимость как «не-р или не-q»; конъюнкция как отрицание несовместимости. Но как было показано

Шеффером1, мы можем ограничиться одной примитивной идеей вместо пяти, а Нико2 показал, что это позволит нам свести примитивные предложения, требуемые в теории дедукции, к двум неформальным принципам и одному формальному. Для этой цели мы должны взять как неопределяемую либо несовместимость, либо совместную ложь. Мы выберем первый вариант.

Наша примитивная идея есть некоторая истинностная функция, называемая «несовместимость», которую мы обозначим через plq. Отрицание может быть определено немедленно как несовместимость предложения с самим собой, то есть «не-р» определяется как pip. Дизъюнкция есть несовместимость не-р и не-q, то есть (plp)l{qlq). Импликация есть несовместимостьр и не-q, то естьpl{qlq). Конъюнкция есть отрицание несовместимости, то есть (p/q)/(p/q). Таким образом, все наши остальные четыре функции определены в терминах несовместимости.

Ясно, что нет никакого ограничения в конструировании истинностных функций либо через введение новых аргументов, либо через их повторение. Нас эта проблема интересует в связи с понятием вывода.

Если мы знаем, что р истинно и что р влечет q, мы можем утверждать q. Есть всегда нечто неизбежно психологическое в выводе: вывод есть метод получения нового знания, и отношение, которое позволяет нам делать вывод правильным, совсем не является психологическим; но реальный переход от утверждения р к утверждению q есть процесс психологический, и мы не должны представлять его в чисто логических терминах.

В математической практике, когда мы делаем вывод, мы всегда имеем некоторое выражение, содержащее пропозициональные переменные, скажем, р и q, которое является истинным для всех значений р и q просто благодаря своей форме. Мы также имеем другое выражение, являющееся частью первого, которое тоже является истинным для всех значений р и q.