Все, что мы необходимо знаем о типе 0, так это то, что она имеет аргументы заданного типа — то есть (скажем) д-функции. Но это, как мы видели, не определяет ее типа. Если бы мы были способны (как этого требует пятое условие) иметь дело со всеми классами, чьи члены одного и того же типа, что и д, мы должны быть способны определить все такие классы посредством функции некоторого одного типа. То есть должен быть некоторый тип я-функции, скажем, w-й, такой, что некоторая я-функция формально эквивалентна некоторой я функции и-го типа. Если это так, тогда любая экстенсиональная функция, объемлющая все я-функции и-го типа, будет включать любую я-функцию. Классы полезны как раз в основном как техническое средство конструирования предположения, которое ведет к этому результату. Предположение называется «аксиомой сводимости» и может быть сформулировано следующим образом:
«Имеется тип (скажем, т) я-функции, такой, что если задана некоторая я-функция, она формально эквивалентна некоторой функции упомянутого типа».
Если предполагается эта аксиома, мы используем функции этого типа в определении нашей соответствующей экстенсиональной функции. Утверждения о всех я-классах (то есть всех классах, определенных через я-функции) могут быть сведены к утверждениям о всех д-функ-циях типа т. Пока мы используем только экстенсиональные функции, в практических рассмотрениях мы избегаем невозможного понятия «всех я-функций». Одна конкретная область, где это жизненно важно, это математическая индукция.
Аксиома сводимости включает все, что по-настоящему существенно в теории классов. И, следовательно, разумно спросить, есть ли какие-либо причины полагать ее истинной.
Эта аксиома, подобно мультипликативной аксиоме и аксиоме бесконечности, необходима для определенных результатов, но не для чистого существования дедуктивного размышления. Теория дедукции, как это объяснено в главе XIV, и законы для суждений, включающие «все» и «некоторый», составляют самую ткань математического мышления: без них, или чего-либо в этом роде, мы не могли бы не только не получить некоторых результатов, но и могли бы не получить никаких результатов вообще. Мы не можем использовать их как гипотезы и выводить гипотетические следствия, поскольку они являются правилами дедукции и предпосылками. Они должны быть абсолютно истинны, или же то, что мы выводим из них, не будет следовать из посылок.
0 коммент.:
Отправить комментарий