Ряд, в котором имеются дедекиндовские пробелы, то есть в котором имеются сегменты без границы, имеет больше сегментов, чем терминов, так как каждый термин определит сегмент, имеющий этот термин в качестве границы, и тогда сегменты без границы будут лишними.
Мы сейчас в состоянии определить действительное число и иррациональное число.
«Действительное число» есть сегмент ряда рациональных чисел в порядке величины.
«Иррациональное число» есть сегмент ряда рациональных чисел, который не имеет границы.
«Рациональное действительное число» есть сегмент ряда рациональных чисел, которые имеют границу.
Таким образом, рациональное действительное число состоит из всех рациональных чисел, меньших определенного рационального числа, и как раз этому рациональному числу соответствует рациональное действительное число. Действительное число 1, например, есть класс собственных дробей.
В тех случаях, где мы естественно предполагаем, что иррациональные числа должны быть пределом рациональных чисел, истина состоит в том, что это предел соответствующего множества рациональных действительных чисел в ряду сегментов, упорядоченных через целое и часть. Например, V2 есть верхний предел всех тех сегментов ряда рациональных чисел, который соответствует рациональным числам, чей квадрат меньше 2. Еще более просто, \2 есть сегмент, состоящий из всех тех рациональных чисел, чей квадрат меньше 2.
1 Для дальнейшего рассмотрения предмета, связанного с сегментами и де-декиндовскими отношениями, см. Principia Mathematica, vol. ii, *210-214. Более полная трактовка действительных чисел дана в цит. выше vol. Hi, *300ff и Principles of Mathematics, chaps, xxxiii and xxxiv.
Легко доказать, что ряд сегментов любого ряда является дедекин-довским. Потому что, если дано некоторое множество сегментов, их граница будет их логической суммой, то есть классом всех тех терминов, которые принадлежат по крайней мере одному сегменту множества1.
Приведенное выше определение действительных чисел есть пример «конструирования» в противоположность «постулированию», еще один пример чего мы находим в определении кардинального числа. Огромное преимущество этого метода состоит в том, что он не требует новых предложений, но позволяет нам продвигаться дедуктивно от исходного аппарата логики.
Нетрудно определить сложение и умножение для действительных чисел, таким образом определенных.
0 коммент.:
Отправить комментарий