Но никто не может рассматривать ее как математическую или логическую истину; она совершенно отлична от такой пропозиции как "Любые две вещи в совокупности с любыми другими двумя вещами дают четыре вещи", которая является логической, а не просто эмпирической истиной»2. Пример наглядно демонстрирует, что признак общности для математических утверждений явно недостаточен. Необходим какой-то дополнительный критерий, которого Рассел так и не дает.
Принципиальную неполноту подхода Рассела отмечает Р. Карнап, который, рассматривая историю становления программы логицизма, различает два тезиса логицизма: тезис определимости и тезис доказуемости3. Математика сводима к логике в смысле первого тезиса, если все понятия математики посредством явных определений могут быть выведены из понятий логики (в частности, понятие числа должно быть определено в рамках логической системы только с использованием логических союзов, кванторов и равенства). Реализация тезиса доказуемости должна привести к тому, что, при условии выполнения первого тезиса, все теоремы арифметики выводимы из аксиом логики с использованием стандартных логических процедур. Р. Карнап утверждает, что Фреге и Рассел понимали программу логицизма в смысле выполнимости первого тезиса. И только Рамсей, с точки зрения поставленной им задачи дополнить признак полной обобщенности предложений математики признаком их тавтологичное™, по сути дела уже предвосхитил, как считает Карнап, его дистинкцию, осознав недостаточность выполнения первого тезиса.
' Russell В. The Principles of Mathematics. London: Allen & Unwin, Ltd, 1903. P. 3.
0 коммент.:
Отправить комментарий