Французские исследователи

Факт неизменяемости числа добавлением к нему 1 был использован Кантором для определения того, что он назвал «трансфинитными» кардинальными числами, но по причинам, которые станут понятными позднее, лучше определить бесконечное кардинальное число как такое, которое не обладает всеми свойствами индуктивных чисел, то есть просто как число, не являющееся индуктивным. Тем не менее свойство не изменяться при добавлении 1 является очень важным, и мы остановимся на нем некоторое время.

Сказать, что класс имеет число, которое не изменяется при добавлении 1, значит сказать, что если мы берем термин х, который не принадлежит к классу, мы можем найти одно-однозначное отношение, чья область есть класс, а обратная область получается добавлением х к классу. Действительно, в этом случае класс подобен сумме самого себя и термина х, то есть классу, имеющему один дополнительный термин. Так что он имеет такое же число, как и класс с одним дополнительным термином, и если п есть это число, то п - п + 1. В этом случае мы будем также иметь п - п - 1, так как будут иметься одно-однозначные отношения, чьи области будут состоять из целого класса, а обратные области из целого класса без точно одного термина. Может быть показано, что случаи, в которых это имеет место, являются теми же самыми, что и более общие случаи, в которых некоторая часть (уменьшенное целое) может быть поставлена в одно-однозначное отношение с целым. Когда это может быть сделано, коррелятор, осуществляющий это, как говорят, «отражает» [reflect] целый класс в часть самого себя. По этой причине такие классы называются «рефлективными». Таким образом:

«Рефлективный» класс это такой класс, который подобен собственной части самого себя («собственная часть» есть уменьшенная часть целого).

«Рефлективное» кардинальное число есть кардинальное число рефлективного класса.

Импорт капитала - человеческого и финансового

Наше определение тогда таково: «Термин, удовлетворяющий функцию фх, существует» означает: «Имеется термин с такой, что фх всегда эквивалентна "х есть с"». Для того чтобы определить «автор Веверлея был шотландцем», мы должны принять в расчет третье из наших суждений, а именно: «Кто бы ни написал Веверлея, он был шотландцем». Это можно сделать просто добавлением, что с есть шотландец. Таким образом, «автор Веверлея был шотландцем» есть: «Имеется термин с такой, что (1) "х написал Веверлея" всегда эквивалентно "х есть с", (2) с есть шотландец». И более обще — «Термин, удовлетворяющий фх, удовлетворяет Ц/х» определяется как значащий: «Имеется термин с такой, что (1) фх есть всегда эквивалентно "х есть с", (2) Ц/х всегда истинно». Это есть определение суждений, куда входят дескрипции. Вполне W?MO> :мян?мо1 о терми ма, то есть лис :«ко w такого- тс без реальном» чмл.'О'г,, чем я». .:,ч чакон го и гомнмч» (обтиек1»). то ее*'. Гея знания какое») либо г^ждутот формы «.т есть током го такой-то 'оОы.кт)», где него. !< ,u »;П);(ны*. m юрпчк суждения о «челоь , СОПерН1ИЛ1|1"*М tipO! ТУП"Ь '^ПГ>.ЛН8ЯМЛ'-Я ГПК, ЧТобм в конце их были .«достаточно дли л««мон< tp^nm* rocj. 'Uo Л nmopiiwi преступление. Мы ;.н»жгм ной tit «««много л«,ше и с«8: ять. чю в< знание, которое может Счть ныряж^ м < {мз исключение

Быт скотоводов

Однако как оно должно осуществляться?

Стройбанк не может самостоятельно квалифицировать предложения. Действующее законодательство наделяет этим правом лишь руководителя хозяйственной организации. Допустим, отделение Стройбанка не согласно с его решением. Тогда оно должно обратиться в вышестоящую организацию заказчика или подрядчика.

Точно так и поступила в описанном нами случае одесская контора Стройбанка. По ее представлению Одесский горисполком отменил неправильные решения относительно квалификации предложений.

Права Стройбанка определены ныне действующей Инструкцией (письмом) Стройбанка СССР от 10 августа 1960 года, № 16 «О порядке оплаты работ, выполненных с применением рационализаторских мероприятий, и выплаты вознаграждений авторам рационализаторских предложений».

Эта Инструкция устанавливает следующие права органов Стройбанка.

В порядке предварительного контроля Стройбанк может не оплачивать экономию от рационализаторских мероприятий подрядчика, если есть указания (или разъяснение) Госстроя СССР (госстроев союзных республик), а также вышестоящей инстанции заказчика о том, что применяемое мероприятие не является рационализаторским. К этому следует добавить и разъяснение Комитета по делам изобретений и открытий.

Если же речь идет о выдаче с расчетного счета подрядной организации средств для выплаты вознаграждения авторам рационализаторских предложений или пусть даже о расчетах за работы, выполненные с применением рационализаторских мероприятий, но если отсутствуют по ним отрицательные заключения вышестоящей организации заказчика, Госстроя, Комитета по делам изобретений и открытий, то органы Стройбанка вправе осуществлять лишь последующий контроль.

Стало быть, в таких случаях они должны беспрепятственно производить финансовые операции, а потом уж, считая это необходимым, обращаться в соответствующую вышестоящую организацию.

Бывает и так, что банк требует от подрядчика документ о согласовании рационализаторского мероприятия с проектной организацией. Банк не прав.

Дикари

Макроскопический объемный рост в этом случае может не наблюдаться или быть значительно меньше ожидаемого. Принималось линейное изменение исходной пористости при нагреве, причем эмпирический коэффициент пропорциональности представлял долю исходных пор, перекрываемых за счет диффузионной пористости. Результаты проведенных экспериментов показали правильность изложенных представлений, а результаты расчета удовлетворительно описывали опытные данные.

Анализ данных по изучению синтеза и спекания муллита позволяет следующим образом качественно представить картину процесса. Вначале происходит уплотнение дисперсных исходных компонентов: Si02 и А1203; при этом происходят также изменения, связанные с переходом у-*а-А1203. При дальнейшем нагревании протекает химическая реакция образования муллита, сопровождающаяся увеличением объема вследствие односторонней диффузии Si02 в А1203. При этом для состава ЗА1203 • 2Si02 должно наблюдаться изменение объема примерно на 8,5%, поскольку истинная плотность реакционной смеси составляет 3,44 г/см3, а плотность получаемого продукта 3,15 г/см3. Однако линейный рост образцов не соответствует этим величинам; он составляет около 4,5%, т. е. 13,5% (объемн.). Такое положение объясняется тем, что за счет односторонней диффузии в процессе муллитизации увеличиваются в объеме только кристаллы А1203; на месте Si02 остаются поры. Следовательно, после образования муллита структура образца может быть охарактеризована наличием прочного каркаса из хорошо сросшихся кристаллов муллита и находящихся между ними крупных пор. При этом пористость образца весьма значительна: довольно пористый сырец увеличивает количество пор еще на 13,5%, что затрудняет последующее спекание.

Таким образом, необходимая для спекания избыточная энергия поверхности частиц исходных компонентов расходуется в процессе химического взаимодействия, рекристаллизации и т. д., в результате чего не может быть достигнута высокая степень уплотнения при совмещении синтеза и спекания.

Обычно хорошая степень уплотнения достигается при разделении синтеза и спекания помолом продукта реакции. При промежуточном тонком измельчении указанный выше жесткий каркас разрушается; система получает новый энергетический источник в виде увеличенной поверхностной энергии измельченных частиц. В этом случае после окончательного обжига получается практически плотноспекшийся материал.

Особенность ионных кристаллов состоит в том, что вакансии в них могут быть двух видов: анионные и катионные.

Каменный век

Ряд, в котором имеются дедекиндовские пробелы, то есть в котором имеются сегменты без границы, имеет больше сегментов, чем терминов, так как каждый термин определит сегмент, имеющий этот термин в качестве границы, и тогда сегменты без границы будут лишними.

Мы сейчас в состоянии определить действительное число и иррациональное число.

«Действительное число» есть сегмент ряда рациональных чисел в порядке величины.

«Иррациональное число» есть сегмент ряда рациональных чисел, который не имеет границы.

«Рациональное действительное число» есть сегмент ряда рациональных чисел, которые имеют границу.

Таким образом, рациональное действительное число состоит из всех рациональных чисел, меньших определенного рационального числа, и как раз этому рациональному числу соответствует рациональное действительное число. Действительное число 1, например, есть класс собственных дробей.

В тех случаях, где мы естественно предполагаем, что иррациональные числа должны быть пределом рациональных чисел, истина состоит в том, что это предел соответствующего множества рациональных действительных чисел в ряду сегментов, упорядоченных через целое и часть. Например, V2 есть верхний предел всех тех сегментов ряда рациональных чисел, который соответствует рациональным числам, чей квадрат меньше 2. Еще более просто, \2 есть сегмент, состоящий из всех тех рациональных чисел, чей квадрат меньше 2.

1 Для дальнейшего рассмотрения предмета, связанного с сегментами и де-декиндовскими отношениями, см. Principia Mathematica, vol. ii, *210-214. Более полная трактовка действительных чисел дана в цит. выше vol. Hi, *300ff и Principles of Mathematics, chaps, xxxiii and xxxiv.

Легко доказать, что ряд сегментов любого ряда является дедекин-довским. Потому что, если дано некоторое множество сегментов, их граница будет их логической суммой, то есть классом всех тех терминов, которые принадлежат по крайней мере одному сегменту множества1.

Приведенное выше определение действительных чисел есть пример «конструирования» в противоположность «постулированию», еще один пример чего мы находим в определении кардинального числа. Огромное преимущество этого метода состоит в том, что он не требует новых предложений, но позволяет нам продвигаться дедуктивно от исходного аппарата логики.

Нетрудно определить сложение и умножение для действительных чисел, таким образом определенных.

Последствия законодательного запрещения

Классификация АИС

В связи с тем, что АИС относятся к сложным системам, целесообразно рассмотреть различные основания для классификации АИС (табл. 1.4).

/. Отрасли применения связаны с понятием сектора информационного рынка, соответствуют в основном типам деятельности пользователей, на информационное обеспечение которых ориентирована та или иная АИС. Если использовать укрупненные категории, то можно сказать, что современный информационный рынок представляют три отрасли [34, 35, 36]:

1) информация (базы данных и системы предоставления информационных ресурсов пользователям), в том числе:

• деловая;

• научно-техническая и информация для специалистов;

• потребительская и развлекательная;

2) электронные сделки (системы электронной торговли, банковские, биржевые и финансовые операции, продажа билетов и резервирование мест и пр.);

3) электронные коммуникации (электронная почта и передача данных).

2. Вид информации отражает структуру данных, поддерживаемую в БД АИС (см., например, ниже рис. 1.4—1.7):

• библиографические данные;

• полнотекстовые документы;

• справочные БД (указатели);

• численные БД;

• графические БД — основную долю составляет растровая или векторная графическая информация.

3. Методы взаимодействия с пользователями определяют две

группы информационных систем [30]:

• системы с разделением времени (СРВ), в которых каждый участник как бы пользуется собственной ЭВМ и основной задачей администраторов и разработчиков является защита данных от несанкционированного доступа и взаимная изоляция участников;

• системы обеспечения групповых решений (СОГР) или Computer Supported Cooperative Work, groupware, которые ориентированы на прямо противоположную задачу — обеспечить взаимодействие пользователей в процессе принятия решений. СОГР сочетают коммуникационную, вычислительную технологии и технологию принятия решений для облегчения формулирования и решения неструктурированных проблем группой лиц. Системы, рассматриваемые в настоящем пособии — Lotus Notes и АИС электронной коммерции, — в принципе относятся к данному разряду.

4. Типы принимаемых решений характерны для информационных

систем, используемых в экономике и управлении. Под информаци-

онными системами управления (ИСУ) принято понимать основан-

ные на компьютерной технологии системы, предназначенные для

обеспечения руководителей всей необходимой информацией. Ос-

новные подходы к классификации ИСУ базируются на двух различ-

Куликовская битва и нашествие тимура

Таким образом, изготавливают плотную и высокоплотную керамику, керамику зернистого строения с небольшими усадками при обжиге, пористую керамику и т. д.

Для получения плотных изделий необходимо провести тонкое измельчение исходного материала (как правило, <1—2 мкм) и спекание его при высоких температурах; это тот случай, который мы рассматривали до сих пор. Однако получение высокочистой керамики с плотностью, близкой к теоретической при практически приемлемых температурах, времени обжига и т. д., часто затруднено. В этих случаях процесс проводят при действии внешней силы, т. е. это так называемое горячее прессование. Здесь движущая сила спекания возрастает и перемещение вещества происходит не только самопроизвольно (за счет избыточной поверхностной энергии порошка), но идет также «течение» частиц в поры под влиянием внешнего усилия. Процесс протекает интенсивнее и при меньших температурах. Особенно это важно на заключительных его стадиях, когда диффузионное удаление пор осуществляется очень медленно. Таким образом, получают весьма плотные материалы с малыми размерами кристаллов. Горячее прессование керамики в настоящее время широко применяется для получения специальных изделий. Ограниченность этого метода связана с техническими сложностями получения изделий [46, 66—68].

Поскольку при горячем прессовании происходит деформирование частиц в поле внешнего усилия, кинетика процесса будет зависеть от кинетики ползучести и от вида зависимости скорости ползучести от нагрузки. Так, при вязком течении кинетика припекания описывается выражением

Ограничения покупки

Училище было преобразовано в национальную военную академию, но по существу в нем мало что изменилось. Преподавали там в основном канадские офицеры, и У. Гаттеридж пишет, что ганский офицерский корпус был единственной организацией в стране, на которую не распространялось влияние партии [76, 1966, vol. II, № 1, 31—41]. М. Джановитц тоже отмечает: «Несмотря на однопартийную систему, в армии не было введено специальной системы оценки политической благонадежности» [162, 54]. Английская газета «Трибюн» писала, что в ганской армии «африканизация свелась в основном к смене персонала — обычаи и права все еще связаны с Западом». Армия и полиция — это «западные институты, руководимые черными европейцами» [127, 3.III.1967]. Американский журнал «Африка рипорт» писал: «Вооруженные силы Ганы остались колониальным учреждением, расширенным и африканизированным, но полностью так и не деколонизированным» [77, 1966, April, 17].

По какой причине Нкрума, охвативший партийным руководством (пусть даже по существу формальным и недейственным) все сферы жизни, вдруг «упустил» армию? Столь опытный и искушенный политик не мог недооценивать роль вооруженных сил; он всячески о них заботился. Невозможно представить, что Нкрума оставил армию вне партийного контроля по собственной беспечности или из уважения к традиционному английскому принципу «армия вне политики». Когда было нужно, Нкрума спокойно переступал через все освященные традицией принципы и нормы западной политической жизни.

Можно найти лишь одно объяснение этому исключительному по своей важности факту: Нкрума хотел сохранить преданность офицеров тем, что не трогал их, не подвергал раздражающим «проверкам благонадежности», не начинал кампаний перемещения или смещения офицеров по политическим мотивам. Других офицеров ему взять было неоткуда. Заменить офицерский корпус несравненно сложнее, чем любой гражданский административный или политический аппарат. Можно уволить любого министра и поставить на его место человека, не обладающего специальными знаниями, но зато политически преданного. Он будет вести дела, опираясь на помощников-специалистов, унаследованных от прежнего руководства. Но нельзя назначить командиром полка человека, не разбирающегося в военном деле, в расчете на то, что какой-то «специалист» будет ориентировать его в делах; это можно, правда, сделать в повстанческой или партизанской армии, но не в армии регулярной, кадровой, в условиях мирного времени.

Функциональные связи городов, иерархическая и сетевая модели

Это утверждение остается истинным, когда мы подставляем «х есть разумное животное» вместо «х есть человек», даже если я ложно верю в то, что Феникс разумен и бессмертен.

Мы даем имя «производной экстенсиональной функции» функции, сконструированной указанным выше образом, а именно функции: «Имеется функция, имеющая свойство /и формально эквивалентная фх», где исходной функцией была «функция фх имеет свойство f».

Мы можем считать, что производная экстенсиональная функция имеет в качестве аргументов класс, определенный функцией фх, и что она утверждает наличие свойства у этого класса. Например, мы можем определить:

Утверждать, что «класс, определенный функцией фх, имеет свойство/», значит утверждать, что фх удовлетворяет экстенсиональной функции, выведенной из/

Это придает значение любому утверждению о классе, которое может быть значимо сделано о функции. Будет найдено, что технически это дает результаты, которые требуются для того, чтобы сделать теорию символически удовлетворительной1.

Сказанного только что нами об определении класса достаточно, чтобы удовлетворить первые четыре из наших условий. Способ, которым гарантируется третье и четвертое условия, а именно возможность класса классов и невозможность для классов быть или не быть членом самого себя, является существенно техническим результатом; он объяснен в Principia Mathematlca и его можно здесь принять без доказательства. Итак, можно считать, что, за исключением пятого условия, наша задача выполнена. Но это условие — наиболее важное и наиболее трудное — не выполняется ничем из того, что мы до сих пор сказали. Трудность связана с теорией типов, и надо кратко пояснить ее2.

Мы видели в главе XIII, что имеется иерархия логических типов, и что подстановка объекта одного типа вместо объекта другого типа является ошибкой.

Сейчас нетрудно показать, что различные функции, которые могут иметь данный объект я как аргумент, не являются функциями одного типа. Давайте назовем их я-функциями. Мы можем взять в качестве первых из них те, которые не включают указания ни на какую совокупность функций: их мы назовем «предикативными я-функциями». Если мы сейчас перейдем к функциям, которые включают указание на всеобщность предикативных я-функций, мы совершим ошибку, если посчитаем их функциями того же типа, что и предикативные я-функ-ции. Рассмотрим такое повседневное выражение, как «я есть типичный француз».

Структура врп

Стический путь, от ориентации государственной власти, ее политики будет зависеть, сможет ли она ограничить рост капитализма в деревне, обеспечивая в то же время подъем сельского хозяйства, или же, утвердившись в деревне, капитализм в дальнейшем захлестнет и город, что приведет к падению или перерождению власти.

Тем самым характер эволюции государственной власти приобретает решающее значение. Практически вопрос стоит так: может ли власть, родившаяся как военный режим, создать широкую и устойчивую политическую систему с социалистической идеологией, массовой базой и партией социалистического авангарда? Речь идет прежде всего о создании партии, целеустремленно борющейся за переустройство общества на социалистических началах и вовлекающей в эту борьбу массы трудящихся, в первую очередь рабочий класс.

В программном документе ПБСП, озаглавленном «Организационная деятельность Партии бирманской социалистической программы» (11 декабря 1965 г.), говорится: «Хотя Революционный совет, который был создан в соответствии со специфической исторической обстановкой, являлся по своему характеру революционным, на первом этапе он оставался военным советом. Однако Революционный совет не стремился сохранять подобное положение вещей, поскольку революцией должна руководить революционная политическая партия» [35, 186]. Аналогичная формулировка содержится и в Уставе ПБСП, где говорится: «Поэтому Революционный совет решил создать такую политическую партию, которая играла бы руководящую роль в политической жизни Бирмы». В Платформе ПБСП указано, что партия является «революционной социалистической партией», что это не «реформистская партия, призванная лишь улучшить старый порядок, а революционная партия, которая уничтожит старый, несправедливый порядок и установит новый, справедливый» [35, 232].

В конце 1966 г. в партии состояло 15,3 тыс. крестьян, 91,9 тыс. рабочих, 51,0 тыс. кадровых военных, 2,8 тыс. служащих полиции, а также 21,6 тыс. человек, социальная принадлежность которых не указана. Кандидатов партии насчитывалось 185 тыс., из них более половины — рабочие, служащие, крестьяне. Как по своему идеологическому уровню, так и по методам партийного руководства и организационной структуре (военная, централизованная), партия еще далека от того, какой ее хотят видеть революционные руководители. На 2-м ежегодном семинаре партии в ноябре 1966 г.

Теория случайного роста

Для порошков, прокаленных ниже 1300°С в процессе измельчения, удельная поверхность и содержание фракций менее 10 мкм изменяются мало; в то же время насыпная масса резко увеличивается; это свидетельствует об уплотнении порошков.

У порошков, обожженных при температуре выше 1300°С, удельная поверхность больше; увеличивается и содержание мелких фракций при времени помола до 30 мин. С увеличением времени помола более 30 мин количество мелких частиц уменьшается при одновременном увеличении удельной поверхности. Это говорит о процессе комкования мелких частиц без изменения их общей удельной поверхности. При времени помола 120 мин вместе с уменьшением количества мелких частиц наблюдается уменьшение и удельной поверхности порошков вследствие образования плотных агрегатов.

Порошки, обожженные при пониженных температурах (ниже ~ 1300°С), характеризуются повышенной гидратацией, степень которой существенно снижается для порошка, прокаленного при 1300°С.

Плотность прессовок (/7 = 50 МН/м2) из неизмельченных порошков повышается с увеличением температуры прокаливания. При температуре прокаливания 1100—1300°С плотность прессовок составляет около 46% от теоретической, а после прокаливания при 1600°С она возрастает до 54%.

Измельчение порошков MgO способствует существенному повышению плотности прессовок. Наилучшей спекаемостью из немолотых порошков характеризуется MgO, прокаленная при 900—1100°С. После обжига при 1700—1750°С образцы из таких ч порошков имели плотность 95,5—96,5% от теоретической при линейной усадке 20—23%.

Измельчение MgO способствует спеканию высокообожженной MgO и мало влияет на спекание образцов из низкообожженной (900°С) MgO. Образцы из MgO, прокаленной при 1100 и 1300°С и измельченной в течение 30—60 мин, спекаются до относительной плотности 95—97% при температуре обжига 1600—1700°С. Линейная усадка таких образцов составляла около 15—16%.

Полученные результаты по эффективности измельчения, отношению к гидратации, спекаемости и величине линейной усадки образцов позволили авторам работы [4] выявить определенные технологические преимущества MgO, предварительно обожженной при 1300°С и вибромолотой в течение 60 мин.

На основе работы [4] на Подольском заводе огнеупорных изделий была внедрена технология получения плотноспеченной керамики из MgO.

Интенсивность спроса

Типы коммуникативных форматов

Коммуникативные форматы разделяются на следующие категории:

• форматы обмена библиографической информацией (МЕКОФ, карточный формат и пр.);

• форматы обмена библиотечно-справочной информацией (семейство MARC);

• форматы обмена полнотекстовой документальной информацией (языки процедурной и описательной разметки документов, средства моделирования документов) — RTF, ODA, SGML, HTML.

Форматы первой группы удовлетворяют спецификациям ISO 2709 — рекомендациям Международной организации по стандартизации (ISO) и различаются наполнением и применением — МЕКОФ предназначен для распространения библиографических БД, а MARC — для онлайновых библиотечных каталогов (ОРАС).

Карточный формат (рис. 1.10) представляет каждый документ (запись) БД как совокупность строк с одинаковым номером (RN), в каждой из которых указана метка (три цифры), идентифицирующая поле или группу полей.

Формат МЕКОФ. Стандарт для коммуникативного формата МЕКОФ устанавливает структуру записи и ее наполнения для обмена библиографическими или другими данными на машиночитаемых носителях (рис. 1.11).

В отличие от карточного формата, для интерпретации которого необходимо описание данных в программе загрузки или в таблицах словаря данных, МЕКОФ содержит максимально полное описание в собственно записи. Оно находится в маркере записи и справочнике, причем маркер описывает справочник, а справочник — собственно данные, чем достигается высокая степень независимости данных от программ обработки.

Библиографическая запись — совокупность данных, включающая: маркер данных; справочник; поля данных; разделитель записи.

Маркер — структурный компонент, находящийся в начале каждой записи, содержащий параметры для ее обработки и состоящий из следующих компонентов: длина записи, статус записи, коды применения; длина идентификатора, длина индикатора (количество символов индикатора); базовый адрес данных, набор кодов, план справочника.

Справочник — указатель местонахождения полей данных в записи.

Брест-литовск

Все, что мы необходимо знаем о типе 0, так это то, что она имеет аргументы заданного типа — то есть (скажем) д-функции. Но это, как мы видели, не определяет ее типа. Если бы мы были способны (как этого требует пятое условие) иметь дело со всеми классами, чьи члены одного и того же типа, что и д, мы должны быть способны определить все такие классы посредством функции некоторого одного типа. То есть должен быть некоторый тип я-функции, скажем, w-й, такой, что некоторая я-функция формально эквивалентна некоторой я функции и-го типа. Если это так, тогда любая экстенсиональная функция, объемлющая все я-функции и-го типа, будет включать любую я-функцию. Классы полезны как раз в основном как техническое средство конструирования предположения, которое ведет к этому результату. Предположение называется «аксиомой сводимости» и может быть сформулировано следующим образом:

«Имеется тип (скажем, т) я-функции, такой, что если задана некоторая я-функция, она формально эквивалентна некоторой функции упомянутого типа».

Если предполагается эта аксиома, мы используем функции этого типа в определении нашей соответствующей экстенсиональной функции. Утверждения о всех я-классах (то есть всех классах, определенных через я-функции) могут быть сведены к утверждениям о всех д-функ-циях типа т. Пока мы используем только экстенсиональные функции, в практических рассмотрениях мы избегаем невозможного понятия «всех я-функций». Одна конкретная область, где это жизненно важно, это математическая индукция.

Аксиома сводимости включает все, что по-настоящему существенно в теории классов. И, следовательно, разумно спросить, есть ли какие-либо причины полагать ее истинной.

Эта аксиома, подобно мультипликативной аксиоме и аксиоме бесконечности, необходима для определенных результатов, но не для чистого существования дедуктивного размышления. Теория дедукции, как это объяснено в главе XIV, и законы для суждений, включающие «все» и «некоторый», составляют самую ткань математического мышления: без них, или чего-либо в этом роде, мы не могли бы не только не получить некоторых результатов, но и могли бы не получить никаких результатов вообще. Мы не можем использовать их как гипотезы и выводить гипотетические следствия, поскольку они являются правилами дедукции и предпосылками. Они должны быть абсолютно истинны, или же то, что мы выводим из них, не будет следовать из посылок.

Экономическая жизнь

Но никто не может рассматривать ее как математическую или логическую истину; она совершенно отлична от такой пропозиции как "Любые две вещи в совокупности с любыми другими двумя вещами дают четыре вещи", которая является логической, а не просто эмпирической истиной»2. Пример наглядно демонстрирует, что признак общности для математических утверждений явно недостаточен. Необходим какой-то дополнительный критерий, которого Рассел так и не дает.

Принципиальную неполноту подхода Рассела отмечает Р. Карнап, который, рассматривая историю становления программы логицизма, различает два тезиса логицизма: тезис определимости и тезис доказуемости3. Математика сводима к логике в смысле первого тезиса, если все понятия математики посредством явных определений могут быть выведены из понятий логики (в частности, понятие числа должно быть определено в рамках логической системы только с использованием логических союзов, кванторов и равенства). Реализация тезиса доказуемости должна привести к тому, что, при условии выполнения первого тезиса, все теоремы арифметики выводимы из аксиом логики с использованием стандартных логических процедур. Р. Карнап утверждает, что Фреге и Рассел понимали программу логицизма в смысле выполнимости первого тезиса. И только Рамсей, с точки зрения поставленной им задачи дополнить признак полной обобщенности предложений математики признаком их тавтологичное™, по сути дела уже предвосхитил, как считает Карнап, его дистинкцию, осознав недостаточность выполнения первого тезиса.

' Russell В. The Principles of Mathematics. London: Allen & Unwin, Ltd, 1903. P. 3.